직육면체 전개도

전개도는 접으면 입체가 되는 평면 도형입니다. 직육면체에는 직사각형 면 6개, 모서리 12개, 꼭짓점 8개가 있으며, 직육면체 전개도는 여섯 면을 서로 맞닿은 모서리로 이은 채 평평하게 펼친 것입니다. 그 모서리를 따라 접으면 빈틈도 겹침도 없이 직육면체로 닫힙니다.

면은 크기가 같은 직사각형 세 쌍으로 나뉩니다: 윗면과 밑면, 앞면과 뒷면, 왼쪽 면과 오른쪽 면입니다. 이 도구가 그리는 모양은 1-4-1 십자형으로, 왼쪽 면, 앞면, 오른쪽 면, 뒷면을 직육면체 높이 그대로 한 줄로 놓고 앞면 위아래에 윗면과 밑면을 붙입니다. 각 면에는 이름과 치수를 인쇄합니다.

겉넓이는 여섯 면의 넓이를 모두 더한 값이고, 전개도에서는 모든 면을 한눈에 볼 수 있습니다. 미국 공통 핵심 교육과정(Common Core)도 6학년 과정에서 전개도를 이용해 입체도형의 겉넓이를 구하도록 합니다(6.G.A.4). 직육면체 전개도에서는 마주 보는 두 면의 넓이가 같으므로, 쌍마다 한 면의 넓이를 구해 2배 하고 세 쌍을 더합니다: 겉넓이 = 2 × (길이 × 너비 + 길이 × 높이 + 너비 × 높이).

길이 5cm, 너비 3cm, 높이 2cm인 직육면체라면 윗면과 밑면은 각각 5 × 3 = 15cm²로 합쳐서 30cm², 앞면과 뒷면은 각각 5 × 2 = 10cm²로 20cm², 왼쪽 면과 오른쪽 면은 각각 3 × 2 = 6cm²로 12cm²입니다. 겉넓이는 30 + 20 + 12 = 62cm²입니다. 정답지에는 어떤 크기로 정해도 이 표가 인쇄됩니다.

직사각형 여섯 개를 접었을 때 두 면이 같은 자리에 겹치지 않아야 전개도가 됩니다. 정육면체의 전개도는 11가지이며, 그중 6가지는 네 면이 한 줄로 놓이고 그 양쪽에 면이 하나씩 붙은 모양으로, 이 도구가 그리는 십자형도 그중 하나입니다. 직육면체도 같은 모양으로 접히며, 각 면의 크기만 모서리 길이에 맞춰 달라집니다.

전개도가 아닌 모양은 세 가지로 금방 가려낼 수 있습니다. 여섯 면이 한 줄이면 둘러 감았을 때 마지막 두 면이 처음 두 면에 겹칩니다. 덮개 두 개가 줄의 같은 쪽에 있으면 윗면이 둘이고 밑면이 없습니다. 그리고 도형의 한 꼭짓점에 네 면이 모이면 접을 수 없습니다. 직육면체의 꼭짓점에는 면이 세 개만 모이기 때문입니다.

부피는 안쪽 공간의 크기로, 길이 × 너비 × 높이입니다(교과서의 가로 × 세로 × 높이와 같은 식이며, Common Core 6.G.A.2에서는 V = lwh). 5 × 3 × 2cm 직육면체는 1cm³ 정육면체가 아래층에 5 × 3 = 15개, 그런 층이 2개라 모두 30cm³입니다. 2 × 1 × 3인치 직육면체는 6in³이고, 높이를 1인치 늘리면 8in³가 되며 겉넓이는 22in²에서 28in²로 늘어납니다.

겉넓이는 제곱 단위, 부피는 세제곱 단위로 나타냅니다: cm²와 cm³, 또는 in²(제곱인치)와 in³(세제곱인치)입니다. ‘크기’ 맨 위의 ‘단위’를 바꾸면 치수, 면의 이름표, 두 답이 모두 따라 바뀝니다. 표에는 준비된 직육면체마다의 겉넓이, 부피, 페이지 수를 정리했습니다.

‘인쇄’를 고르면 A4 또는 레터 용지에 실제 크기로 인쇄하는 PDF가 만들어집니다. 1페이지는 접는 순서와 축척을 확인하는 25mm, 1인치 정사각형이 있는 안내 페이지이고, 그다음이 전개도입니다. 준비된 직육면체는 모두 한 장에 들어갑니다. 더 큰 크기는 필요한 페이지 수가 크기 아래에 표시되고, 전개도가 여러 장으로 나뉘며 모서리 표시에 맞춰 테이프로 이어 붙입니다.

카드지는 깔끔하게 접히고 모양도 잘 유지됩니다. 먼저 자와 잉크가 나오지 않는 펜으로 점선에 자국을 내 두세요. 왼쪽 면의 남은 모서리를 뒷면에 테이프로 붙이고, 윗면과 밑면을 접어 닫은 뒤 그 모서리도 붙입니다. Cricut용 SVG는 외곽선을 자르고 접는 선에 자국(Score)을 넣으며, SVG와 PDF는 디자인 프로그램에서도 열 수 있습니다.

학생마다 다른 크기로 같은 과제를 낼 수 있습니다. 연습 문제지에는 이름과 날짜를 적는 칸, 면마다 이름과 치수를 적은 전개도, 채워 넣을 표가 있고, 같은 크기의 정답지는 모든 칸이 채워져 있어 바로 채점에 쓸 수 있습니다. 두 장 모두 한 페이지에 인쇄되며, 큰 전개도는 줄여서 넣고 그 사실을 페이지에 적어 둡니다.

직접 만들어 보는 수업이라면 카드지에 전개도를 인쇄해 접고, 면의 길이를 다시 재어 보세요. 정육면체는 정육면체 전개도, 여닫는 덮개가 있는 상자는 박스 전개도 만들기에서 만들 수 있습니다.