直方体の展開図

展開図は、折ると立体になる平面の図です。直方体には長方形の面が6つ、辺が12本、頂点が8つあり、直方体の展開図は6つの面を、共有する辺でつないだまま平らに広げたものです。その辺に沿って折ると、すき間も重なりもなく直方体に閉じます。

面は同じ大きさの長方形3組に分かれます：上と下、前と後ろ、左と右です。このツールが描くのは1-4-1の十字型で、左、前、右、後ろの4面を直方体と同じ高さで横一列に並べ、前の面の上下に上と下の面を付けます。各面には名前と寸法を印刷します。

表面積は6つの面の面積の合計で、展開図ならすべての面を一度に見られます。米国の共通学力基準（Common Core）でも、6年生の内容として、展開図を使って立体の表面積を求めることが挙げられています（6.G.A.4）。直方体では向かい合う面の面積が等しいので、各組の1面を求めて2倍し、3組を足します：表面積 = 2 ×（長さ × 幅 + 長さ × 高さ + 幅 × 高さ）。

長さ5cm、幅3cm、高さ2cmの直方体なら、上と下は5 × 3 = 15cm²ずつで合わせて30cm²、前と後ろは5 × 2 = 10cm²ずつで20cm²、左と右は3 × 2 = 6cm²ずつで12cm²です。表面積は30 + 20 + 12 = 62cm²。解答には、設定したどのサイズでもこの表が印刷されます。

6つの長方形を折ったとき、2つの面が同じ場所に重ならなければ展開図です。立方体の展開図は11種類あり、そのうち6種類は4つの面が一列に並び、その両側に1面ずつ付く形で、このツールの十字型もその1つです。直方体も同じ形から折れ、各面の大きさが辺の長さに合わせて変わるだけです。

展開図にならない形は、3つの点で見分けられます。6つの面が一列だと、ぐるりと巻いたとき最後の2面が最初の2面に重なります。フタが2つとも列の同じ側にあると、上が2つで底がなくなります。そして図のどこかで4つの面が1つの角に集まっていると折れません。直方体の頂点には面が3つしか集まらないからです。

体積は内側の空間の大きさで、長さ × 幅 × 高さです（縦 × 横 × 高さと同じ式で、Common Core 6.G.A.2ではV = lwh）。5 × 3 × 2cmの直方体は、1cm³の立方体が下の段に5 × 3 = 15個、それが2段で合計30cm³です。2 × 1 × 3インチの直方体は6立方インチで、高さを1インチ増やすと8立方インチになり、表面積は22平方インチから28平方インチに増えます。

表面積は平方単位、体積は立方単位で表します：cm²とcm³、または平方インチと立方インチです。「サイズ」の「単位」を切り替えると、寸法、面のラベル、2つの答えがすべてそれに合わせて変わります。下の表は、用意した直方体ごとの表面積、体積、ページ数です。

「印刷用」を選ぶと、A4かレターサイズに原寸で印刷するPDFができます。1ページ目は組み立て手順と、縮尺を確かめる25mmと1インチの正方形で、続いて展開図です。用意した直方体はどれも1ページに収まります。大きいサイズでは必要なページ数がサイズの下に表示され、展開図は角のマークで合わせてテープでつなぐ複数のページに分かれます。

厚紙ならきれいに折れて、形も崩れません。先に定規とインクの出ないペンで破線に筋を付けておきましょう。左の面の空いている辺を後ろの面にテープで留め、上と下の面を折って閉じ、その辺も留めます。Cricut用SVGは外形をカットして折り線にスコアを入れ、SVGとPDFはデザインソフトでも開けます。

生徒ごとに違うサイズで、同じ課題を出せます。練習プリントには名前と日付を書く欄、各面に名前と寸法を入れた展開図、記入用の表があり、同じサイズの解答はすべての欄が埋まっているので答え合わせにすぐ使えます。どちらも1ページに印刷し、大きな展開図は縮小して収め、そのことをページに書き添えます。

手を動かす授業なら、厚紙に展開図を印刷して折り、もう一度面を測ってみましょう。立方体なら立方体の展開図、開け閉めできるフタ付きの箱なら箱の展開図作成をどうぞ。